Rappresentazione aggiunta

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In matematica, la rappresentazione aggiunta (o azione aggiunta) di un gruppo di Lie è un modo di rappresentare gli elementi del gruppo come trasformazioni lineari dell'algebra di Lie del gruppo, considerata come uno spazio vettoriale. Ad esempio, dato il gruppo ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$, il gruppo di Lie di matrici invertibili reali n per n, allora la rappresentazione aggiunta è l'omomorfismo di gruppo che manda una matrice n-per-n invertibile ${\displaystyle g}$ a un endomorfismo dello spazio vettoriale di tutte le trasformazioni lineari di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ definito da ${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$ .

Per ogni gruppo di Lie, questa rappresentazione naturale si ottiene linearizzando (cioè prendendo il differenziale) l'azione del gruppo su se stesso per coniugazione. La rappresentazione aggiunta può essere definita per gruppi algebrici lineari su campi arbitrari.